Зачем Мария Монтессори придумала коричневую лестницу?

Монтессори считала, что двойная роль арифметики как «средства развития мышления» и как «элемента необходимой базовой культуры человека» по-настоящему не была признана в ее время. В наши дни теория преподавания школьной математики, разумеется, шагнула далеко вперед по сравнению с серединой прошлого века – одно только развивающее обучение Эльконина-Давыдова или проблемное обучение Занкова дали человечеству огромный теоретический и методологический материал для размышлений. Но интерпретация этих теорий в дошкольной и школьной практике с расчетом именно на гуманистический подход в обучении детей не могла бы осуществиться, если бы ученые не обратили внимание на автодидактику (самообучение) Марии Монтессори.

«Психоарифметика» открывает особый тип мышления ребенка, его выдающийся потенциал и свойственную ему психологию познания с помощью специальной «психодидактики» и «материализованных абстракций». Это и есть новая элементарная математика – концепция и метод ее познания детьми дошкольного и школьного возраста. 

Упражнения с автодидактическими материалами по арифметике, как пишет сама М. Монтессори, «можно сравнить со «спортивным залом для гимнастики ума». Посредством скрупулезного анализа очевидных явлений и активных упражнений все детали ведут к психической активности, как если бы арифметика была и вправду самым практическим средством аутентичного психологического толкования существа ребенка, чудесной мастерской экспериментальной психологии. Каждый занимается сам по себе с живым интересом и достигает успеха в соответствии с внутренним голосом разума, откликающегося на потребность в развитии и своего собственного уровня зрелости. В результате у детей есть свободный выбор, и каждый ребенок может достигнуть в развитии мышления логического и систематического прогресса».

Отрывок из книги «Психоарифметика», «Народная книга», 2018

Перевод с итальянского Д. Корнилов

Русская редакция Е. Хилтунен

Научная редакция А. Колабаев

Рисунки Н. Корочарова, А. Князев

Давайте возьмем в руки набор блоков, используемых в Доме ребенка. Конечно, было бы интересно сконструировать ступени Коричневой лестницы с помощью одинаковых призмочек, равных «тонкой» ступеньке, первой в наборе, имеющей в сечении квадрат со стороной 1 см. Сторона квадрата сечения остальных призм возрастает каждый раз на 1 сантиметр, до 10.

С этой целью мы приготовили материал, позволяющий осуществить все эти переходы.

На разрезе каждой группы линиями обозначены части, из которых состоит группа: они позволяют посчитать призмы. Эти же деления обозначены на прямоугольных сторонах призм. То есть призмы несут в себе указания аналитического характера, позволяющие оценить число их составляющих единиц. Становится видно, что для перехода от первой призмы ко второй нужно добавить три единицы, то есть что вторая призма состоит из 4 тонких призм. 

 

После того, как вторая призма составлена из единиц, заменяем ее на цельную призму. На длинных сторонах она несет разметку, означающую отдельные единицы, ее составляющие. К ней присоединяются отдельные призмы и трансформируют ее в призму «3». То есть в такую, сечение которой представляет собой квадрат числа 3.

 

 

Нам понадобятся две призмочки для каждой из двух смежных сторон, но останется еще пространство вдоль ребра. Оно заполняется еще одной призмой. Чтобы осуществить этот переход, необходимы, следовательно, 5 призм-единиц. И так далее для всех остальных переходов. 

Наконец, чтобы перейти от призмы числа 9 к призме числа 10 – последней в серии, – придется покрыть смежные стороны призмы «9», используя две группы по 9 призм в каждой и заполняя пустое пространство вдоль ребра одной-единственной призмой-единицей. 

Теперь мы можем заметить, что число призм-единиц, необходимых для нашей цели, точно такое же, какое необходимо для перехода от одного квадрата из бусин к следующему. То есть разница между призмами соответствует разнице между квадратами, и длина призм, будучи постоянной, не привносит в наши расчеты никаких изменений. Даже если длина достигнет двадцати метров, она никак не влияет на расчет соотношений между призмами. При переходе от штанги к штанге (например, от штанги «9» к штанге «10») достаточно добавить только одну – штангу «1».

В случае построения лестницы из призм изменяется квадратное сечение каждой призмы (то есть ее площадь), и, чтобы перейти от предпоследней призмы к последней, нужны 19 единиц.

Если теперь сопоставить две крайних призмы всей серии, можно увидеть, что длина призм изменялась от 1 до 10, в то время как площадь ступенек Коричневой лестницы растет от 1 до 100, то есть от 1 до 102.*

Расчеты размеров набора призм сводятся, следовательно, к расчету их оснований, то есть к тем, которые можно проделать и на плоских фигурах, так как призмы отличаются одна от другой только своими площадями оснований.**

Призм 19. Это наибольшее число, необходимое, чтобы перейти от предпоследней ступени к последней. То есть мы вернулись к отдельным призмам, которые попробовали использовать сначала. Иллюстрации в настоящем издании подверглись соответствующим изменениям.

Кроме того, нужно заметить, что такое упражнение в первую очередь носит не математический, а сенсорный характер и представлено уже в Доме ребенка.

__

Статья из журнала «Монтессори-клуб» № 3 (63) 2018