Понимание математики. Метод Монтессори. Ученическое эссе

Юлия Ядрихинская - участница Программы "Понимание математики. Метод Монтессори", 2022 год

 

Несколько лет назад знакомство с Монтессори - педагогикой изменило мои представления о способах подачи математических знаний детям дошкольного возраста.  Мои личные детские воспоминания мало связаны с математикой. Сейчас я понимаю, почему это именно так. Всего три ярких эпизода за несколько лет сохранились у меня в памяти.

 

Восьмидесятые годы 20 века. Мне лет 5-6. Лето. Бережно собираю монетки достоинством три копейки. Потому что именно на эти золотистые кружочки я вместе с подружками покупаю сладкую грушевую газировку из автомата. Опускаю поочередно четыре монетки в автомат, и, в специальную пузатую, невысокую баночку (обычная литровая не влезает), с весёлым фырканьем наливается волшебный нектар. Помню, как регулярно пересчитывала эти монетки, оценивала, на сколько баночек лимонада хватит накопленных сокровищ. Такой радостный математический опыт. И монетки посчитать. И узнать, сколько денежек надо, чтобы наполнить газировкой мою уникальную банку. И наглядное представление о том, что хоть баночка ниже обычной литровой, но благодаря "пузатости" в неё помещается столько же жидкости, как и в более высокую стандартную литровую банку. Анализ стольких факторов лёгок и приятен. Потому что есть такая вкусная цель. :)

 

Одна из любимых игр во дворе - игра в ножичек. Ведущий чертит максимально ровный большой круг на земле складным ножичком. Затем первый игрок бросает ножичек. Удача, если он вертикально втыкается в землю. Тогда играющий выделяет себе кусочек круга... При неудачном броске, когда нож просто падает, ход передается другому...Цель - захватить как можно больше земли... Помню, как сейчас, этот пиратский азарт, поделённый на лакомые кусочки круг. Как взволнованно мы делили всё уменьшающиеся части "суши". Первые жизненные впечатления о геометрических фигурах, о делимости круга на большие и маленькие части. Это были настоящие, самостоятельно добытые без участия взрослых математические представления. Жизненные и живые.

 

Я уже в первом классе. Урок математики. В красивой пластиковой коробочке пластмассовые палочки. Цвет не помню. Зато помню специфический запах палочек. Слышу спокойный голос учителя, достаю палочки из коробки, что-то считаю.... Почему-то приятно. И всё понятно.

К сожалению, больше никаких воспоминаний из детства, связанных с математикой.

Алгебру и геометрию в старших классах я абсолютно не любила. Постоянно менялись учителя, было очень скучно. Я просто механически заучивала материал наизусть. 

Почему я при ответе на Ваш вопрос вспомнила свой радостный детский опыт?

И почему он так скуден? Ответ для меня очевиден. В детсадовской среде и в начальной школе было критически мало возможности получить практический математический опыт. Не было рядом взрослых наставников, понимающих потребность маленького человека в математических, да  и в любых открытиях. Соответственно, не было никакой специально организованной образовательной среды, позволяющей самостоятельно исследовать мир.

 

Но кое в чём мне повезло. С 6 лет я посещала замечательную художественную школу, где компенсировала нехватку практической деятельности. Художественная школа обогатила меня яркими и разнообразными впечатлениями. Там была атмосфера творчества, среда, наполненная различными материалами, фактурами, запахами и звуками. Это было моим детским счастьем и отдушиной. Именно в художественной школе происходило свободное развитие моего мышления. Да, именно в этом Храме искусств я имела возможность потрогать и подержать в руках гипсовый шар, куб, цилиндр, перед тем как нарисовать их карандашом на мольберте. Благодаря изящной подаче информации педагогом, мы легко учились видеть тень, свет, полутень на предметах, старались передать свои маленькие открытия на бумаге.

 

В ракурсе своего детского опыта, я могу утверждать, что практическая работа с математическими материалами моего ученика Фёдора ведёт к развитию психического мышления детей. Потому что он по своей воле и, когда действительно этого хочет, занимается Монтессори-материалами, совершает свои маленькие открытия, радуется и удивляется.

 

Я наблюдаю, как действует мой ребенок при работе с математическими материалами. Неординарные вопросы Фёдора Ивановича позволяют судить о том, что его мышление активно развивается. Монтессори - материалы пробуждают любознательность, устойчивый интерес и способность перенести полученные результаты работы во все сферы детской жизни. Именно этого мега- важного переноса полученных в процессе обучения математических знаний на практику почти не было в моём детстве.

 

Сейчас хочется рассмотреть данный вопрос в парадигме научной и педагогической деятельности Марии Монтессори. Математические материалы, ею разработанные, удобны и просты в использовании. Да, действительно, всё гениальное просто. Но, чтобы достичь эффективности в применении своих материалов, великая итальянка прошла серьёзный путь.

 

Свой фундаментальный труд Мария Монтессори назвала "Дом ребенка. Метод научной педагогики". Основа метода - многолетние исследования учёной в области психологии, физиологии, педагогики и философии.

 

Несомненная ценность для всего человечества в том, что метод Марии Монтессори успешно реализуется во всем мире более 100 лет. За такой длительный период накоплено множество свидетельств об эффективности математических материалов в развитии психического мышления детей.

 

Об истоках метода лучше всех говорит сама Мария Монтессори: "По счастливой случайности десять или одиннадцать лет назад я получила медицинское образование и работала ассистентом в психиатрической клинике при Римском университете. Фрагментарно я имела возможность изучать больных с психологическими заболеваниями и должна была выбрать дальнейшее направление работы. Мне были интересны госпитализированные в клинику дети с психическими отклонениями в развитии. Но интуиция подсказывала мне, что таким детям нужны не только медицинские методы лечения, сколько образовательные. После изучения лечебной (терапевтической) педагогики в Лондоне и Париже я поставила задачу лечить больных детей как учитель, а не как медик. Физиология болезни высвечивает маршрут образования. Он проходит от ненормального состояния ребенка к норме, и гораздо ярче, чем в обычных условиях, виден методический вклад экспериментальной психологии и гигиены в дело образования, хотя душа человека, душа ребенка так и остаётся неизведанной, не изученной до конца, и особенный ее строй все ещё считается ошибкой природы.

Два с половиной года назад мне представился счастливый случай. Эдуардо Таламо- руководитель государственного Института улучшенных жилищ, человек высокого интеллекта и мыслящий прогрессивно- предложил участвовать в его проекте. Мне представилась возможность стать организатором школы, которая объединила бы детей жильцов многоквартирного дома, где живёт и сама учительница. Эта школа была частью повседневной жизни всего жилого комплекса. В ее работе принимали участие матери, сёстры и братья детей, и сами дети всегда могли вернуться домой. Я получила возможность экспериментировать с методом, мною разработанным. И после некоторого времени занятий с детьми, не веря своим глазам, я поняла, что эти методы ещё в большей степени пригодны для занятий с детьми обычными, чем с больными, потому что все дети пока не обучены, но должны быть подготовлены к жизни в обществе. Оказалось, мой метод может работать в качестве критерия разумного развития человеческой индивидуальности. Веря в здоровье организма, мы должны иметь веру и в здоровье духа. Метод антропологии и экспериментальной психологии может быть применен к педагогике. А учителю предстоит из механика превратиться в настоящего натуралиста, естествоиспытателя и следовать тому, что предлагает природа ". ("Образование человека", Мария Монтессори).

 

Математические материалы разрабатывались и апробировались самой Марией Монтессори не просто года, а целые десятилетия. Свобода, дарованная ребенку при работе с монтессори-материалами, нахождение маленького человека в ситуации исследования, что ему в настоящий момент действительно интересно, - вот ключевые факторы, которые привели к невиданной ранее концентрации внимания и неожиданным качественным скачкам в развитии мышления. Представления Марии Монтессори о роли математики в развитии мышления ребенка до сих пор можно считать революционными в современной педагогической науке и практике.

 

Цитирую Камилло Граццини: "На одной из лекций в Кембридже, примерно через год после выхода в свет "Психоарифметики", Мария Монтессори объяснила, что мы можем назвать" психологией арифметики". Она выдвинула концептуальные положения, которые затем появились в структуралистской педагогике и психологии (хотя структуралисты использовали терминологию гораздо более осторожную и аккуратную, чем у Монтессори).

"Числа со всем, что с ними связано, - читаем в тексте упомянутой лекции, - становятся для ребенка научными стимулами, вызывающими жизненную психическую активность. 

... В сенситивные периоды развития школьные предметы могут стать способом помощи человеку в развитии. В частности, математический материал, преподанный подходящим образом и в надлежащий сенситивный период, позволяет ребенку прийти к пониманию математики в целом ". И далее: "Необходимо проанализировать каждую трудность ребенка, рассмотрев ее отдельно с помощью конкретного материала; можно сказать, следует "материализовать " абстракции, которые для ребенка пока недостижимы, к ним нужно только перекинуть мостик из материала. ...В деятельности с математическим материалом ребенок демонстрирует нам своё понимание, ... и это только первая ступень длительной и повторяющейся высшей психической деятельности ".

 

Пока у меня не было возможности приобрести весь комплект математических монтессори - материалов, соответствующий возрасту моего ученика. Около года назад Федя заинтересовался счётом с переходом через десяток. Тогда мы сделали пособие сами. На цветные проволочки нанизали бусинки. Федюша назвал их «гусеничками». А вместо досок Сегена я применила заламинированные листы бумаги с цифрами.

К "гусеничке"- десятку пришла "гусеничка"- единица. Федя, трогая, сосчитал бусины у длинной гусенички и сразу добавил к ней бусину "гусенички"- единицы: "один, два... десять, одиннадцать". На деревянную таблицу с числом 10 наложили табличку с числом 1. Проговорили: "Один на десять - получается одиннадцать… Два на десять - двенадцать и т.д." Такую работу Федя проделывал с энтузиазмом день за днём, пока не осознал и глубоко не впитал это знание.

 

Внутренняя потребность, созревший интерес к постижению трудного математического понятия стимулировали Фёдора озвучивать эти вопросы вслух. Моя задача заключалась лишь в том, чтобы услышать этот запрос и создать условия для проведения практической экспериментальной работы по освоению актуального в настоящий момент математического знания.

 

Именно "трудность" в счёте с переходом через десяток явилась мощным стимулом к развитию мышления Феди. Материализация абстрактных понятий через игровой эксперимент дала быстрый результат. Как только потребность в этом математическом знании была удовлетворена, мальчик перестал обращаться к "гусеничкам".

 

Достиг понимания - и успокоился. Ажиотаж прошёл. Я вижу, что математическое мышление у Федора развивается резкими скачками. Есть точки полного покоя, длящиеся неделями, даже месяцами. И есть моменты бурного, взрывного интереса. Периоды активности менее длительные, но очень яркие.

 

Самое ценное во всем этом увлекательном процессе - ведущая роль ребенка, а не взрослого. Маленький человек, словно серьёзный учёный, самостоятельно приходит к своим первым математическим открытиям. Взрослый — это чуткий наставник, создающий вокруг ребенка актуальную развивающую среду.  

 

Из предисловия Марии Монтессори к "Психоарифметике".

"Материалы для занятий арифметикой можно сравнить со "спортивным залом для гимнастики ума". Посредством скрупулёзного анализа очевидных вещей и активных упражнений все детали ведут к психической активности, как если бы арифметика была и вправду самым практическим средством аутентического психического толкования существа ребенка, чудесной мастерской экспериментальной психологии. Каждый занимается сам по себе с живым интересом и достигает успеха в соответствии с внутренним голосом разума, откликающегося на потребность в развитии. Так каждый достигает своего собственного уровня зрелости. В результате у ребенка есть свободный выбор, и он может достигнуть в развитии мышления логического и систематического прогресса.

На протяжении двадцати пяти лет обширных и непрерывных экспериментов ни один предмет в наших школах не вызывал у детей столько энтузиазма, как арифметика, и ни в каком другом предмете не был достигнут столь неожиданный прогресс, как в области математики. Таким образом, в начальной школе мы имеем теперь живую практику и тучную плодородную пашню там, где прежде не было ничего, кроме трудностей и высохшей пустыни.... Этой книгой я предлагаю вниманию читателей изучение явлений психического порядка и напоминаю, что дети, эти ученики-учителя, сделали из своих наблюдений выводы, придя к открытию алгебраических формул и числовых соотношений. Так наши дети сами и без какого-либо страха и смущения решали задачи, приходя к результатам, совершенно не известным их учителям. Следовательно, мы открыли путь не просто обучения чему-то готовому, но путь личной творческой работы".

 

Отсутствие страха, свобода выбора материала для занятий, колоссальный обучающий потенциал самих монтессори-пособий, учёт сензитивного периода развития детей в формировании развивающей среды, наставничество, а не поучение со стороны взрослого, - все эти моменты в  совокупности позволяют достигать значительных успехов в развитии мышления детей. Занимаясь с математическим материалом, ребёнок не развивается однобоко, потому что в методе Марии Монтессори математика — это значимая часть окружающей человека жизни. Познание ее законов способствует формированию у детей адекватной картины мира.

 

Исходя из вышесказанного, монтессори-педагоги справедливо считают, что прогресс в развитии детей, работающих с ее математическими материалами, вызван не требованиями взрослых, а естественной потребностью детского ума к постоянному движению вперёд.

 

Мой Федор Иванович работает с математическими материалами тогда, когда ему этого хочется, двигаясь в своем темпе по индивидуальной, только им определяемой траектории.

 

В свете последних трагических событий меня поразило, что школа сестёр Ильиных существовала именно в городе Николаеве Херсонской губернии. Удивил меня и тот факт, что большинство пособий разработал не педагог, а вице-адмирал Виктор Иванович Зарудный. Необычно, что основали школу дочери генерал-майора морской артиллерии Ивана Васильевича Ильина, а не просто гражданского чиновника.

 

Особое впечатление на меня произвело наличие большого количества удивительных наглядных пособий. Рациональность, практичность ежедневных получасовых занятий математикой в школе Ильиных поражает.

 

Заинтересовавшие меня пособия в школе Ильиных:

1. "Арифметический" стол.

Не совсем поняла, как дети работали с кубическими миллиметрами из меди, как их складывали в кубический сантиметр. Более крупные единицы измерения мне ясны. 

Заинтриговала возможность изменить при работе с "арифметическим" столом системы счисления. С десятичной на двоичную и т. д.

 

2. Рёбра кубической сажени.

 

3. 54 планки из ясеневого дерева, представляющие различные доли метра.

 

4. Кубический дюйм, составленный из 64 равных кубиков из черного, пальмового, красного и орехового дерева. Представляю, какой он красивый. Столько драгоценных пород дерева. Невероятные тактильные ощущения были у детей.

 

5. "Конус из красного дерева, рассеченный площадями в различных направлениях. Все части конуса нанизываются на одну металлическую, вертикальную ось и так плотно прилажены друг к другу, что корпус кажется цельным. Учительница снимает одну часть конуса за другою, и дети видят, что от пересечения конуса в разных направлениях образуется круг, эллипс, парабола и гипербола, которые ученики потому и называют коническими сечениями"(барон Корф).

Никогда не видела такого пособия! Хочется его создать! :)

 

Метод наглядного преподавания наук в России того времени не был столь совершенным, как родившийся в 20 веке метод Марии Монтессори, но тем не менее имел множество утончённых, изысканных и эффективных в обучении детей пособий.

 

Гармония и красота нашей реальности имеет чёткие математические основания. Каждый день ребенка наполнен активным поиском ответов на важные вопросы. Мир вокруг буквально пронизан математикой. Визуальные, тактильные, стереогностические, слуховые и другие ощущения выступают манящими загадками для юного исследователя. Проживание этих чувств, их анализ приводят ребенка в том числе и к математическим открытиям.

 

В моменты внезапного озарения и обретения понимания ребёнок чувствует себя счастливым. Потому что любое новое знание интуитивно означает для малыша продвижение вперёд в освоении сложной реальности. Каждый маленький шажок в развитии представлений о мире приближает его к стабильности, устойчивости и спокойствию.

 

Мне кажется, совсем маленькие дети чувствуют магию чисел, их устойчивость и значимость. Моя внучка Дашенька в год и семь месяцев научилась четко говорить "один". Смотрим с ней книжечку. Дашуля показывает на картинке предмет и уверенно, громко произносит: " один!" С таким важным видом! Для нее это и есть самое актуальное на сегодня и на сейчас открытие. Ходит, показывает и повторяет "один, один, один...".

 

Детей окружают множество предметов. В какой-то момент накопленные ощущения начинают нуждаться в систематизации, упорядоченности. И спонтанно ребенок начинает считать, с лёгкостью и радостью погружаясь в изучение нумерации.

 

Интересное наблюдение за Федей (тоже примерно в полтора года проснулся интерес к числу). Во время прогулки, ежедневно, мы останавливались по просьбе Федюши у каждой машины во дворе. Федя пальчиком указывал мне на цифру номерного знака и требовал, чтобы я озвучила название. Выражал свое пожелание одним звуком: "м".

 

Именно тогда я приобрела таблички с шершавыми числами. Федя постоянно их трогал, обводил и внимательно впитывал названия.

 

А вот к счету монеток Федор равнодушен. Полагаю, этот навык для него не актуален и не подкреплён жизненным опытом. Потому что и я, и родители, пользуемся в магазине пластиковой картой. Иногда - бумажными деньгами. И никогда - монетками.

 

Моя попытка повторить опыт Ю.И. Фаусек с кассой монет разного достоинства не имела большого успеха у Феди. Поиграли пару раз. И всё. Не актуально. А вот с игрушечной кассой "Икеа" ребенок играет в магазин. Основная часть покупок проводится пластиковой карточкой. Числовые символы на "банкнотах" не интересуют Федю. Пока для него существует обобщенное понятие "деньги". Моя попытка расширить его представление в этом вопросе оказалась несвоевременной.

 

Из имеющегося у нас математического материала меньше всего по времени Федя занимался с "веретёнами". Появились эти материалы, когда Феде было 3 года десять месяцев. Он с лёгкостью раскладывал веретена по отделениям.  На момент появления веретён Федюня уже отлично считал предметы до 10. Это были и камушки, и бусинки, и машинки, и брусочки....

 

Из своего опыта могу сделать вывод, что ребенку интересен тот материал, который помогает вскрыть трудность, подняться на ступеньку вверх в развитии своих математических представлений о мире. Именно поэтому, почти все дорогие и красивые игры, подаренные Феде из "Детского мира" оказались одноразовыми. Поиграл день- два. И всё. Не интересно.

 

Ещё один материал - дециметровые штанги. Активно работал с ними немного времени. Быстро впитал новые знания. Возможно, я знаю не все способы взаимодействия со штангами. Лично мне это пособие очень нравится.

 

Один из любимых Федором сенсорных материалов, имеющий косвенное отношение к математическим занятиям - геометрические тела. И их проекции. Уже год используем. Вначале очень интенсивно. Сейчас в работе с коллекцией для чтения Ю.И. Фаусек. Когда Федор выбирает карточки для чтения из рубрики "геометрические тела".

 

Геометрические тела — это материал, вызвавший у Феди максимальный длительный интерес. Было много открытий совершено самим ребенком. Радостные эмоции, искреннее удивление подарил нам этот монтессори-материал.

 

Для меня загадочно прохладное отношение Федюши к геометрическому комоду. Презентацию я проводила. В дальнейшем Федя обрисовывал вкладыши и сами тела, штриховал. Но не было азарта, глубокого погружения. 

С появлением коллекции для чтения Ю.И. Фаусек геометрический комод стал более востребован. Федя регулярно выбирает карточки с названиями геометрических фигур.

 

Отвечу еще и на вопросы, которые освещает Ю. И. Фаусек.

1. Связь арифметического материала и воспитания органов чувств.

 

Из личного опыта. Маленький полуторагодовалый Феденька старательно ощупывал пальчиками каждую шершавую цифру. Тактильные и зрительные ощущения способствовали утончению чувств при работе с этим пособием.

 

Самодельные гусенички из стеклянных бус изучались по цвету, весу, усердно пересчитывались, сравнивались по длине. Тоже прослеживается связь математического материала с воспитанием чувств.

 

2. Связь арифметического материала с развитием языка. Формирование любых математических представлений неизбежно ведёт к появлению в речи ребенка четких общепринятых понятий.

 

Однажды усвоенные понятия цифр остаются неизменными навсегда. "Один" — это всегда "один", а "пять"- это всегда "пять". Постоянный рост арифметических представлений увеличивает активное применение в речи ребенка всё новых и новых математических терминов.

 

Увеличение активного словарного запаса расширяет коммуникативные возможности ребёнка, его включённость в жизнь окружающих людей, обогащает восприятие реальности.

 

3. Связь арифметического материала и рисования.

Федя нарисовал машину и сказал: "одна машина". Нарисовал три рыбки и озвучил: " три рыбки". Сами цифры Федя пишет менее охотно, чем буквы. Любит писать на асфальте мелом цифру "один". А недавно на своем рисунке подписал в уголке: "4+". Пояснил: " Потому что мне уже четыре с плюсом".

 

Ещё был период, когда Федюша «рисовал» цифры с помощью липких цветных верёвочек. Конструировал их на столе, на полу. Красивые получались арт-объекты.

 

Выполняя рисунок на свободную тему, ребёнок условно переносит на лист бумаге своё представление о мире. И даже в рисунке трёхлетки мы видим стремление соблюдать математические законы. Размер родителей больше размера ребёнка, солнышко всегда круглое, а не квадратное, на лице два глаза, один нос и один рот и т. д. Сколько результатов серьёзного мыслительного труда открывается в наивном детском рисунке внимательному наблюдателю!

 

4. Связь арифметического и геометрического материалов.

Любимые Федей геометрические тела. Совсем недавно по собственной инициативе считал, сколько сторон у куба. Поразил меня вопросом о количестве углов у куба. За углы посчитал вершины. Пока в его представлении это так. Насчитал 8. Но ведь угол - понятие в плоскости, а не в объеме, как я понимаю. Получается, у куба 24 угла. 

И такие математические тайны хранит каждое геометрическое тело. Сколько открытий в этой сфере впереди у моего мальчика.

 

Полагаю, взрыв интереса к геометрическому комоду у Федора впереди. На каждой его полочке хранится тайна. Арифметика и геометрия во взаимодействии.

 

Метод Марии Монтессори представляет собой гармоничную структуру, в которой все материалы объединены в цельную образовательную среду. Да, существует деление монтессори-материалов на сенсорные, математические, языковые и т. д. Уникальность заключается в их взаимосвязи. Не случайно монтессори-педагоги выделяют при работе с материалами прямые и косвенные цели. Монтессори-материалы — это гениально созданная проекция взаимных отношений объектов реального мира.

 

Дети прекрасно ощущают, что монтессори-материалы - это наглядные модели, которые предельно точно передают настоящие свойства предметов и явлений большого мира. Именно поэтому мы видим с каким интересом ребенок погружаются в работу с актуальными для него монтессори-пособиями.

 

Результат такой работы - самостоятельное открытие ребенком тайн нашего мира. Самое важное - интегрирование этих самостоятельно добытых знаний в свой личный практический опыт. И умение этот опыт использовать в нужный момент.