Арифметика в России 150 лет назад

Николай Александрович Корф

О школе сестер Ильиных в Николаеве

Школа основана 1 ноября 1862 года дочерями генерал-майора морской артиллерии Ивана Васильевича Ильина Александрой и Елизаветой, в доме по улице Католической №3 (ныне улица Макарова, 5). По замыслу ее основателей, школа была призвана создать благоприятные условия для овладения элементарными знаниями наук. Изначальное обучение строилось на индуктивном методе, когда формированию понятий предшествуют систематические упражнения с последовательным переходом от наглядного к отвлеченному. Дети обоего пола в возрасте от 5 до 7 лет, не зная твердо ни чтения, ни письма, в процессе игры учились сравнивать, вычислять, рассуждать. Но это в классе подготовительном. Кроме него, имелось еще три класса. Общее число учащихся составляло 60 человек.

23-24 июня 1863 года проездом из Крыма Великий князь Константин Николаевич и Великая княгиня Александра Иосифовна посетили школу, и Александра Иосифовна пригласила одну из девиц Ильиных, Елизавету Ивановну, в качестве воспитательницы для своих детей. В числе последних был и Великий князь Константин Константинович Романов (1858-1915), в дальнейшем - поэт, представитель школы чистого искусства, публиковавшийся под псевдонимом К.Р. Как свидетельствуют его дневники, К.К.Романов испытывал искреннюю привязанность к своей первой учительнице, рано скончавшейся. Будучи в Николаеве в июне 1879 года, он побывал на ее могиле.

Педагогический руководитель школы и автор большинства наглядных пособий - Виктор Иванович Зарудный (1828—1897) — вице-адмирал, выдающийся гидрограф, работавший над описью, съёмкой и составлением лоции Чёрного моря.

Элементарная подготовительная школа сестер С.И. и А.И. Ильиных в городе Николаеве. Современное фото Игоря Гаврилова

Из рассказа барона Н.А. Корфа

В мае месяце 1871 года я ездил в Николаев, чтобы познакомиться с элементарной школой Ильиных. Меня влекла в эту школу репутация ее, самые противоречивые суждения о достигаемых ею результатах и слухи о том, что эта школа обладает весьма богатой коллекцией noco6ий для наглядного преподавания всех предметов элементарного курса. Польза начальной школы в России требует, чтобы народные учителя и педагоги вообще ближе ознакомились со школою Ильиных. Я желал бы содействовать этому в предлагаемой статье.

При описании такой элементарной школы, которая все обучение основывает на наглядности, имеет особенное значение знакомство с самими учебными пособиями, которые применяются в школе. Вот почему, прожив в школе Ильиных четыре дня, и пользуясь благосклонною готовностью сестер С. И. и А. И. Ильиных поближе ознакомить меня с их делом, - я часть времени ежедневно посвящал изучению именно пособий для наглядного обучения, которые мне предстояло увидеть в самой школе. Так, прежде чем ознакомиться с преподаванием арифметики и успехами детей по этому предмету, я рассмотрел те пособия, при помощи которых арифметика преподается наглядно.

Желая оказать услугу школе Ильиных и делу элементарного обучения вообще, я составил систематический каталог пособий, которыми владеет школа, и теперь воспользуюсь тем экземпляром каталога, который взял с собою, чтобы познакомить читателей «Народной школы» с важнейшими из них. Неразрывно с описанием пособий должно следовать и изложение хода обучения, основанного на этих пособиях. Приступим к ознакомлению читателей с преподаванием арифметики в школе сестер Ильиных.

Деревянные пуговки вместо чисел

Арифметика преподается во всех трех классах одной из учредительниц школы, Александрой Ивановной Ильиной. Применяя существующие руководства по арифметике можно сказать, что в этой школе, придерживающейся метода Грубе, младший класс всесторонне изучает целые числа и их доли до 27. Второй класс — до 100, а старший класс к выпуску, т. е. за все три учебных года, узнает первые четыре действия арифметики письменно с числами любой величины, отвлеченными и именованными и умственно решает различные задачи на дроби.
 
Но так  возможно определить курс арифметики в этой школе только применительно к существующим учебникам и обыкновенному ходу дела в других элементарных школах. Если же присмотреться к этому курсу ближе, то окажется, что он отличается многими особенностями и, благодаря пособиям и наглядному преподаванию арифметики, касается таких предметов, которые обыкновенно не входят в состав элементарного курса арифметики. Так например, школа отступает от метода Грубе в том отношении, что в первые два года обучения, дети вовсе не выражают письменно тех задачек, которые предлагаются им по Грубе. Только на третий год преподают нумерацию, пишут числа и потому выражают задачи письменно. До тех же пор цифры заменяются деревянными пуговками, различной перестановкой и числом, которых учащиеся и выражают произведенные ими умственные вычисления.
 
Таким поздним приступом к нумерации школа хочет избежать бессознательного, механического письма чисел, и, применительно к возрасту детей, поступающих в школу восьмилетними, дольше удержать наглядность обучения и позже приступить к отвлеченным понятиям.

Нельзя не признать рациональности этих педагогических приемов и стремлений, но трудно не согласится и с тем, что школа в этом случае впадает в крайность, которой желательно избежать, если только присмотреться к результатам обучения. В этой школе остается так мало времени для навыка письменного счисления, что при нас дети, четыре года обучавшиеся, верно, но не бойко, писали большие числа и не выражали задачи арифметическими знаками, в чем до крайности затрудняли себе самим решение задач, касавшихся лишь чисел малой величины.
 
Я полагал бы полезным следующим образом видоизменить преподавание. Удержав метод обучения нумерации, принятый в школе, о котором скажем ниже, следовало бы распределить преподавание нумерации, к которой приступают теперь лишь в старшем классе, между тремя классами школы, начиная с младшего. Дети, вычисляющие лишь до 8, должны бы уметь выражать письменно единицы. Дети, вычисляющие десятками, должны бы пройти нумерацию до десятков. Добравшись в вычислениях до сотни, дети должны быть ознакомлены с нумерацией единиц, десятков и сотен и уметь сознательно выразить деревяшками и цифрами любое число с сотнями.

"Арифметический стол" вице-адмирала И. Зарудного

Обратимся теперь к самому способу преподавания нумерации, принятому в школе Ильиных. Для обучения нумерации и упражнений в арифметических действиях в школе существует особый «арифметический» стол из орехового дерева, в 8 с 1/2 футов длиною и 4 с 1/2 фута шириною. Он придуман, подобно множеству других учебных пособий, педагогическим руководителем школы В. И. Зарудным, которому школа в значительной мере обязана своим процветанием. Верх стола, т. е. доска его, фанерована в шахматном порядке и состоит из 32 квадратов в 1 квадратный фут каждый — из кленового и полисандрового дерева.
 
Вся площадь квадратов в совокупности окаймлена мозаиковой линией из кленового дерева по ореху, поделенной на линейные дюймы. Каждый из квадратов, резко обозначенных на верхней доске стола, служит, при преподавании нумерации, местом единиц известного разряда.
 
На первом квадрате справа дети кладут то число деревяшек, сколько следовало бы написать единиц на месте единиц. На втором квадрате кладутся десятки, как на счетах кладутся на второй проволоке справа десятки рублей. И так далее.  До сих пор это учебное noco6иe, которое можно бы значительно удешевить, если бы заменить краской дорого стоящую деревянную работу, - не имеет преимущества пред счетами. Но в дальнейшем оно значительно с ними расходится и превосходит их.

То, что у нас в школах обыкновенно называют «простыми единицами», т. е. «единицами первого порядка», как называет их школа Ильиных или просто «единицы», выражаются деревяшками не произвольной величины, а действительною величиною кубического миллиметра. Кубический миллиметр сделан математически верно из меди. И затем для счета употребляются деревянные кубики, приблизительно равные этой величине.
Когда ребенок сроднится с тем, что единицы выражаются на арифметическом столе кубическими миллиметрами, ему показывают кубический сантиметр, равный десяти кубическим миллиметрам, в чем учащиеся убеждаются, составляя из десяти кубиков первого порядка один кубик второго порядка (1 десяток), равный по объему десяти кубикам, т. е. единицам первого порядка.

Затем ребенок опять пользуется кубиками не произвольной величины, но деревяшками, имеющими объем одного кубического дециметра, равного десяти сантиметрам (десяткам), или ста миллиметрам (единицам). В этом дети опять убеждаются наглядно и, таким образом, как бы осязают, что сотня состоит из 10 десятков, десяток—из 10 единиц, сотня — из 100 единиц.

А если основание счисления не десяток? Но ученикам объясняют, что за основание счисления можно принять не только 10, но и 2, 3, 4, 5, >, 7 и всякое иное число. При основании счисления не 10, а 2, не 10 единиц первого порядка составят одну единицу второго порядка, а две единицы первого порядка составят одну единицу второго порядка.

Предположим, для примера требуется выразить число 4 по нумерации десятичной системы. Мы положим на первом квадрате 4 кубика, так как только и даны нам 4 единицы первою порядка.
 
Условимся вместо этого, что две единицы первого порядка уже составляют одну единицу второго порядка. В таком случае число 4 составит 2 единицы второго порядка и ни одной не будет первого. Это мы напишем так: 20; мы поставили нуль вместо единиц первого порядка и заметили 2 единицы второго порядка. Следовательно, приняв за основание счисления не 10, а 2, число 4 выразится двумя цифрами: 2 и 0.
 
Напишем, приняв за основание счисления не 10, а 2, число 85. Для этого будем делить 85 на 2. 85:2 = 42 единицы второго порядка и 1 единица 1-го порядка. Запишем на доске или положим на арифметическом столе только 1 единицу первого порядка, так как в 42 единицах второго порядка заключаются единицы следующих старших порядков. Продолжаем делить. За делимое принимаем полученное частное. 42:2 = 21 единица третьего порядка и ни одной второго не остается. На столе пропускаем квадрат, а на доске влево от 1 ставим нуль вместо единиц второго порядка. Частное 21 опять превращаем в делимое, так как в 21-й единице третьего порядка, предположив, что каждая 2 единицы этого порядка составляют одну единицу четвертого порядка, заключаются единицы четвертого порядка, число которых определится, если мы 21 единицу третьего порядка разделим на 2.

Продолжая поступать таким образом до тех пор, пока частное будет меньше двух, мы получим следующие знаки, для выражения числа 85, при основании счисления 2: 1010101 т. е. единицу 7-го порядка, единицу 5-го порядка, единицу 3-го порядка, единицу 1-го порядка. Следовательно, при основании счисления 2 все числа могут быть выражены двумя цифрами 1 и 0, а не десятью цифрами, которые нужны при десятичной системе. Понятно, что если за основание счисления принять не 2, а 3, то для выражения всех чисел потребуются 3 цифры, а не 2 или 10, и что совершенно иначе выразится тогда число 85, написанное нами выше. Понятно также, что если бы за основание счисления принять не 10, не 2, не 3, а 9, то число 85 выразилось бы следующим образом – 94. 85 единиц первого порядка в таком случае составили бы 9 единиц второго порядка и 4 единицы первого. Для выражения числа на арифметическом столе пришлось бы положить 9 деревяшек на второй квадрат и 4 на первый или квадрат верхней доски стола.

Но как убедить наглядно детей в том, что в данном случае одна единица второго порядка, действительно, равна девяти, а не десяти единицам первого порядка? Для этого школа имеет для каждой системы нумерации, от 2 до 10, особых ящиков с деревяшками, действительно, представляющими требуемую величину. Так, для нумерации при основании 5, единица второго порядка выражается таким кубиком, который, действительно, в 5 раз больше кубика, служащего для выражения единиц первого порядка, при основании счисления 5.

О результатах наглядного обучения арифметике

Такие результаты могут быть оценены лишь тем из педагогов, которому случалось испытать, что написать число, продиктованное в десятках и сотнях, затрудняет и лучших учеников 5-го класса тех гимназий, в которых не введено это упражнение. Не забудем при этом и, что нумерации дети обучаются всего один год и что за первые два года они и в руки не берут, на уроке арифметики, ни грифеля, ни карандаша, ни мела. Настолько наглядность обучения облегчает уразумение детьми преподавания.
 
Не наведет ли это наших народных учителей на мысль, что преступно поступают они, не пользуясь ежеминутно русскими счетами, при обучении арифметике, из-за недоступности для них более дорогих и совершенных пособий? Впрочем, мы тотчас увидим, что каждую народную школу возможно бы снабдить весьма полезными пособиями, стоящими самых ничтожных денег, если бы только учителя, убедившись в пользе наглядною преподавания, похлопотали о приобретении их и взялись руководить работою доморощенного столяра и даже помочь ему.

Для того, чтобы убедить в этом наших читателей, мы остановим внимание их на пособиях школы Ильиных, для ознакомления учеников с различными мерами, линейными, квадратными и кубическими.

Ребра кубической сажени

В одной из классных комнат школы Ильиных посетитель видит ребра кубической сажени из брусков соснового дерева. Одно из ребер сажени, т. е. один из брусков разделен на 48 вершков, другой—на 84 дюйма (28 д. х З = 84), третий — на 12 четвертей аршина, четвертый — на 3 аршина, пятый—на 7 футов. К одному из линейных аршин приставлен кубический аршин в ребрах (см. на чертеже а); к одному из линейных футов приставлен кубический фут в ребрах (см. b). Каждая из сторон кубической сажени равна квадратной сажени. Верхняя сторона кубической сажени (см. в) подразделена планочками, как бы образующими сетку, на 9 квадратных аршин и 49 квадратных футов. Одну из вертикальных сторон кубической сажени следовало бы подразделить на 9 квадратных аршин, подразделив один из аршин на 256 квадратных вершков. Все деления обозначены красками. Причем, известная мера выражена сплошным цветом. Например, брусок, поделенный на дюймы, представляет ряд полосок белого и красного цвета, каждая в один дюйм шириною.
 
Школа Ильиных пользуется описанным выше пособием (и множеством других, на описание которых у нас нет места), как материалом для умственных арифметических задач, переводя вершки в дюймы, линейные меры в квадратные и т. п., непрестанно пользуясь наглядностью при решении задач. Такой прием в основе своей представляет двоякую пользу: дети отлично знакомятся с величиною действительно существующих мер. У них в высшей степени развивается глазомер, в чем я мог убедиться не один раз. Кроме того, наглядность облегчает вычисления.

О пользе практического применения арифметики

Если я не ошибаюсь, практика школы Ильиных доказывает и то, что не следует злоупотреблять предложением задач такого рода. Ведь в таком случае меры, служащие в жизни лишь для измерения, могут утратить для учащихся свой практический житейский характер, и из предмета реального превратиться для ребенка в предмет отвлеченный или в специальную принадлежность школы.

На эту мысль меня навел ответ одного ученика этой школы. На мой вопрос о том, на что бы ему мог пригодиться кубический миллиметр, ученик отвечал, что он мог бы из 10 кубических миллиметров составить один кубический сантиметр, a из 100 — один кубический дециметр. Этим ответом ученик и ограничился, не смотря на вопросы, которыми я хотел отвлечь его от вычислений, по привычке к ним ставшим его второй натурой. Ученик не вспомнил о том, что существует множество тел, объем которых он мог бы вычислить названною мною мерою. Едва ли возможность подобного ответа со стороны хорошо успевающего ученика (дурно успевающие  ученики представляют едва заметное, весьма редкое исключение в этой школе) не наводят на приведенные мною выше размышления.

Ознакомление детей с мерами не должно ограничиваться наглядным изучением их величины и соотношением различных мер между собою. Необходимо, чтобы учащиеся чаще видели эти меры в деле: измеряли ими площади и объемы. Надо, чтобы сами по себе меры не получили характера отвлеченности в понимании детей. Арифметические задачи, по моему мнению, только в таком случае могли бы касаться перевода одной меры в другую, если бы в задачах данными являлись не сами меры, но известная величина предметов из обыденной жизни, выраженные в мерах.

Я бы не задал, например, такую задачу. Какую часть вершка составляет один дюйм? Такая задача легко может быть решена в школе Ильиных, где покажут детям вершок деленой на семь долей и рядом с ним дюйм, из чего дети наглядно и выведут, что 1 дюйм = 47 вершка.

Но я задал бы ту же задачу иначе: „Если у меня был 1 вершок сукна, а я отрезал от него 1 дюйм сукна, то какая часть вершка сукна у меня осталась?
 

Авторские задачки барона Корфа

Кажется мне, что вообще следовало бы в школе Ильиных вывести арифметические задачи на более практическую почву, для того чтобы они утратили тот исключительный характер умственной гимнастики, который придавался ими в этой школе до сих пор. Например, уже в младшем классе задаются следующие задачи.
 
1.    Увеличь 1/7 в 4 раза.
2.    Вырази 2/3 в девятых.
3.    Увеличь 18 в 4 раза
4.    Сколько к 8/10 прибавить пятых, чтобы получить целое?
5.    Вырази 33 и 12 в половинах.
6.    Вырази 5/5 и 59 в третях.
7.    Сколько составят вместе 1/2 + 24 + 48?
8.    Сколько будет 2/3 + 39 + 36?

Все эти задачки и всевозможные им подобные решаются учениками и ученицами младшего класса чрезвычайно толково, вполне сознательно. На столе, перед детьми, решающими эти задачи, лежат планочки, разделенные на различные доли. При помощи этих планочек проверяется решенная задача, или происходит собственно ее решение, если она затрудняет ребенка.

Но эти же самые дети решили только при помощи наводящих вопросов следующую задачку, мною предложенную: «Из 25 орехов потеряны 4/5 этого числа. Сколько осталось орехов?» Не доказывает ли это, что к задачам, подобным вышеприведенным, следует добавлять задачки из практической жизни во избежание одностороннего навыка, - задачи, решение которых именно и служат пользой, для которой предназначена арифметика?

Еще более утвердило меня в необходимости усовершенствовании школы Ильиных в выборе арифметических задач то, что в старшем классе один из лучших учеников не решил, без наводящих вопросов, следующей задачи письменно: «8 рабочих в 9 дней заработали 248 руб. Сколько 3 работника из этих 8 рабочих заработали в 5 дней?»

Это поразит читателя в особенности после того, когда он из дальнейшего изложения ознакомится с тем, насколько развиты дети в школе Ильиных и какие трудные задачи решаются ими вполне сознательно. Исправить указанный недостаток Ильиным удастся за несколько недель, но исправить его необходимо, так как школа готовит человека к практике жизни.

Какой поучительный пример для того из учителей, которого наблюдения за детьми еще не научили тому, как легко дети усваивают известные навыки и как вредно отзывается на их успехах обучение однообразным упражнениям, как бы хороши эти упражнения ни были сами по себе.

Что касается дробей

Я уже упомянул о пособиях, применяемых в школе Ильиных при умственном решении задач на дроби. Но на этих пособиях к наглядному объяснению частей целого стоит остановиться, так как многими из этих пособий могла бы обзавестись каждая начальная школа, за самые ничтожные деньги. Я могу перечислить только некоторые из таких пособий.

 а) 54 планки из ясеневого дерева, представляющие различные доли метра: из них может быть составлен метр, разделенный на половины, трети, четверти, пятые, шестые, седьмые, восьмые, девятые и десятые доли.

б) Аршин, деленный на 28 дюймов и аршин, деленный на 16 вершков; всего 44 планки из липового дерева.

в) Десять планок, из которых, составляется сажень, деленная на футы и сажень, деленная на аршины. Гораздо дороже обошлись бы квадратную и кубическую меры, подразделенные на доли, в особенности столь художественно исполненные, как те, которыми обладает школа Ильиных, пользовавшаяся отличными мастерами морского ведомства.

Материалы на определение объема и емкости

Меры емкости, имеющиеся в школе Ильиных (бочка в 40 ведер, ведро, чарка, четверть, четверик, гарнец), могли бы только в таком случае служить к наглядному объяснению дробей, если бы на глазах детей производилось этими мерами само измерение. Если бы ученик увидел, что в 1 меру можно насыпать 8 раз по 1 гарнцу овса, то он бы наглядно выяснил себе, что гарнец составляет восьмую долю четверика.

Но едва ли многие из наших школ найдут время и удобства для таких опытов. В школе Ильиных, где 50 учащихся обучаются четырьмя учительницами, успевают произвести все эти опыты, необходимые для того, чтобы обучение происходило наглядно. И каждый народный учитель должен стремиться к этому по возможности.

Квадрат и куб числа в первом классе?

Возьмется ли, например, кто-нибудь из начальных учителей, не обладающих пособиями к наглядному преподаванию, объяснить в элементарной школе, не идущей дальше четырех действий арифметики и имеющей дело с одиннадцатилетними детьми в старшем классе, —квадрат чисел, квадратный корень наибольшего делителя? Или возьмется ли он предложить своим ученикам превратить 5 футов в аршины? Конечно, нет! А все это делали вполне сознательно, в моем присутствии, десятилетние дети в школе Ильиных.

Откуда произошел квадрат, что послужило ему корнем? Одна из сторон квадрата есть его корень. Учительница пишет на доске: 8х8=64. „Найдите квадратный корень 64-х», - говорит она детям. Ответ: квадратный корень 64 будет 8, так как 64 получено от умножения 8 на 8, представляющих собой стороны квадрата.

„Найдите квадрат 6-и, - говорит учительница. Ответ: квадрат 6-и будет 36, так как 6 представляет сторону квадрата, служащую ему корнем. Точно также наглядно выводится, что кубический корень есть ребро такого куба, объем которого выражается данным числом. Так кубический корень тысячи будет 10.

Ученики подходят с учительницей к кубическому аршину. Верхняя сторона куба служит крышкою, а внутри кубического аршина помещение для пособия к наглядному обучению.

Кубический аршин сделан из соснового дерева и окрашен в 4 цвета. Одна из сторон этого куба разделена на 40 квадратов, имеющих, каждый, в стороне по 4 дюйма, т. е. 12 линейного аршина. Другая сторона — на 256 квадратных вершков. Третья — на 4 квадрата, имеющих стороны в половину линейного аршина. Четвертая сторона куба разделена на 16 квадратов, имеющих каждый стороны в четверть линейного аршина. Пятая сторона представляет 4 квадратных фута и 13 квадратов, имеющих каждый стороны по 4 линейных дюйма. Ученик видит, что один фут содержится в аршине 2 раза, и что остается остаток, равный 4 дюймам. Это он видит на представляемом ему пособии, и потому так и отвечает на вопрос о том, сколько раз фут содержится в аршине. Ученик видит, что 1 фут = 12 дюймам, а 1 аршин = 28 дюймам, и что остаток составляет 4 дюйма. Так как 12 дюймов содержатся в 28 дюймах два раза с остатком в 4 дюйма, то эти 4 дюйма и будут наибольшим делителем для 1 фута (12 дюймов) и 1 аршина (28 дюймов). Эта задача, решенная наглядно, проверяется делением на классной доске.

Волшебное превращение фута в аршины

Для превращения 5 футов в аршины ученики школы Ильиных сличали при мне два куба, на которых были изображены третьи доли фута и седьмые доли аршина. Это сличение доказало им, что 1/2 фута равно 1/7 аршина. Затем, отвечая на последовательные вопросы учительницы, дети сообразили, что 5 футов составят 15/3 фута = 157 аршина = 2и1/7 аршина. Это вычисление сделано в уме.

Может случиться, что найдутся люди, которые скажут: «3ачем такие премудрости в начальной школе, которая не должна касаться предметов, предназначенных для старшего возраста?» Это иной вопрос, которого мы также коснемся. Но теперь мы ожидаем, прежде всего, от читателя ответа на вопрос, достижимо ли объяснить детям подобные вещи без наглядных пособий, и не свидетельствуют ли достигаемые результаты бесспорно о незаменимости наглядности преподавателя и его силе?

Обратимся, затем, к вопросу о том, насколько приведенные выше вычисления могут входить в программу элементарной школы. Заметим при этом, что заблуждаются, по нашему крайнему разумению, те, кто полагают, что школа, готовящая во 2-й класс - такая, как школа Ильиных - не должна касаться учебных предметов, которых в этом классе не изучают. Элементарная школа должна быть подготовительною в полном смысле этого слова. Она должна развить учащегося и облегчить ему все его дальнейшее образование. Поэтому многое - и очень многое - может быть включено в программу элементарного курса, лишь бы преподавание имело тот объем и придерживалось тех методов, которые уместны в элементарной школе.

Обращаясь к расписанию учебных занятий, мы видим, что школа Ильиных затрачивает на арифметику по одному получасовому уроку в день, чего никак нельзя признать утомительным для детей.

Обращаясь затем к самому способу обучения, мы видим, что школа Ильиных возбуждает самодеятельность детей и преподает только путем наводящих вопросов. Что же касается вышеприведенных нами математических истин, обыкновенно не входящих в состав учебной программы элементарной школы, то читатель видел, что школа весьма благоразумно ограничивается наглядными уяснениями их, т. е. подготовкой детей к серьезному изучению таких же истин, когда для того наступит время. Приняв все это во внимание, не смешно ли было бы упрекать школу Ильиных за то, что она сумела раздвинуть рамки элементарного обучения и не служит ли развитие, данное в этой школе программе элементарного курса, лучшим доказательством того, как благотворно может отозваться на успех детей наглядность преподавания?

Что такое куб? Что такое цилиндр?

На столе стоит куб и к столу вызвана ученица. У каждого из учащихся в руках кубик, на котором каждый из них указывает то же, что и ученица, отвечающая учительнице возле стола. «Укажите правую сторону куба», - говорит учительница, левую сторону, ребро, угол. Посчитайте, сколько в кубе сторон, ребер, углов. Найдите на кубе прямую линию. Сколько она имеет протяжений? Ответ: одно. А площадь? Укажите все площади куба. Укажите точку на кубе. Имеет ли она протяжение? Есть ли на кубе кривая поверхность. Сколько измерений имеет куб? То, что имеет 3 измерения, называют телом. Имеет ли этот куб наклонную поверхность? А вертикальную? А горизонтальную? Что вы называете вертикальным? То, что идет сверху вниз, как отвес. (Тут же показывается отвес). Что вы называете горизонтальной поверхностью? Ответ: такую, на которой шар спокойно лежит.

Все эти вопросы касались пройденного, а новый урок дан был при мне в младшем классе о цилиндре, который дети, имея его  перед глазами, изучили путем сравнения его с известною им уже призмою, при помощи наводящих вопросов учительницы.
 
В среднем классе дети из различных тел, выставленных на стол, образовали три группы, на которые они подразделяются: остроконечные тела, правильные и имеющие одинаковую толщину, как сверху, так и снизу. Все геометрические тела не только называются, но определяются с указанием на самой модели всего того, что входит в состав определения.

Ученикам дают призму, основание которой равно 6 квадратным дюймам, а высота 6 линейным дюймам. Требуется вычислить объем такой призмы. Для этого ребенок берет деревяшки, равные, каждая одному кубическому дюйму, и строит из них призму, равную той, объем которой требуется измерить. Числом кубических дюймов, потребовавшихся для сооружения призмы, и определяется тот объем, который надлежало вычислить. Так же точно вычисляется объем куба, который дети имеют пред глазами.

Полые геометрические тела и конические сечения

В старшем классе дети сравнивали при мне по объему трехгранную призму с трехгранной пирамидой, равную по высоте и основанию. Для этого в школе имеются полые фигуры из меди, в которые сами дети льют воду кружкой известной величины и, таким образом, наглядно убеждаются в том, что объем призмы больше объема пирамиды, при равных основаниях и  высоте.
Для геометрии и черчения школа обладает 47 пособиями, считая за одно пособие целые коллекции. Например,
•    58 равнобедренных треугольников разной величины.
•    15 полых фигур из меди;
•    7 конусов красного дерева;
•    20 пирамид и конусов из кленового дерева;
•    21 призму;
•    9 фигур, представляющих части шара (сегмент, пояс, полушария, сектор);
•    343 кубических дюймов, из которых составляется кубическая четверть аршина;
•    множество таблиц с изображением развернутой поверхности тела;
•    раздвижные углы и прочие пособия.