«Золотая Коллекция»

Подписывайтесь на рассылку «Золотая коллекция»
Приглашаем наших друзей и коллег стать подписчиками расширенной версии электронного журнала «Монтессори-клуб»! Мы будем отправлять Вам подборку лучших и самых актуальных материалов сайта один раз в неделю по вторникам.

Подключайтесь к нашим учебным программам
Получайте вместе с нами информальное образование! Узнайте о педагогике М.Монтессори самое главное и из первых рук! В наши персональные рассылки вошли лучшие статьи журнала «Монтессори-клуб», часть из которых больше нигде не публиковались, аудио и видео-файлы, комментарии и задания экспертов.

Выберите Курс »

Понимание математики через ее чувственное воспритие

Валентина Трошина
Автор этой статьи Валентина Васильевна Трошина умерла 11 сентября 2005 года. Более тридцати лет она отдала педагогической деятельности, работала как практик, и как исследователь. В. Трошина стояла у истоков развития педагогики Монтессори в Белоруси. Наверное, она была одинока в своих педагогических исканиях, так как ее имя известно сегодня лишь немногим. В то же время вслед за Марией Монтессори, но и вполне самостоятельно она размышляла о человеческом потенциале, о том, что может быть вкладом нашего поколения в его истинное и глубокое раскрытие.

Мозг детей обогащается образами

Чтобы разобраться в основных требованиях начального обучения счёту, нужно, прежде всего, задаться целью: какое направление в обучении вы избрали? Образовательное, воспитательное, практическое? Естественно, в первую очередь – воспитательное; во вторую – практическое. Через сознание ребёнка должен пройти некоторый ряд систематизированных чувственных восприятий; ребёнку надо как-то объяснить, что такое математическое содержание. Благодаря этой работе воспитатель тренирует воображение малышей. Мозг детей обогащается образами. Возникают понятия, накапливается опыт. Опыт - это питательная среда для будущих идей. И зрение, и органы речи через мускульное чувство обрастают известными навыками, которых без математического воспитания ребёнку не получить. Чем больше запас осознанных чувственных восприятий, ясных представлений, точных понятий, плодотворных идей, определённых познаний и твёрдых навыков в освоении счёта, тем скорее малыши освоятся с новыми для них представлениями о многомерности потоков жизни, научатся принимать свою жизнь с достоинством, определят собственные интересы на ранней стадии физического развития.
 
Дети умеют радоваться. И радость приходит не только в форме подарков и приключений, но и в форме занятий. Новое, чем оно труднее, чем больше требует затрат умственного труда, тем оно интереснее, тем больше привлекает своей неисследовательностью и дарит не только физическое удовольствие, но и высшее, интеллектуальное наслаждение от преодоления трудностей.

Трое за двумя столами 

Воспитательное значение в обучении счёту сводится преимущественно к воспитанию у детей ряда умственно-культурных привычек. Например: перед малышом на столе лист бумаги и карандаш. Малыш понимает, что воспитатель готовится дать ему задание. Он садится за стол. Но тут воспитатель кладёт рядом с ним ещё один лист бумаги и ещё один карандаш. Ребёнок задаётся вопросом. Не существует ли между этим явлением числовой зависимости? То есть, не подсадят ли к нему за его столик ещё кого-то.  Их будет за столом только двое? Но когда воспитатель приносит ещё один лист бумаги и карандаш – ребёнок начинает непроизвольно вести подсчёт. Если он умеет считать до пяти, он легко подсчитает, сколько детей будет за столиком. Если он обучен азам логики, он может вычесть себя или посчитать себя, думая о себе не как о лице – личности, своём индивидуальном “Я“, а воспитанный в математических привычках примет себя всего лишь за единицу, к которой собираются прибавить ещё две - в таком случае он уже открывает для себя функциональную зависимость. Причём следуя логике, такой же естественной, как и речь, малыш приходит к открытию самостоятельно. В дальнейшем он всё лучше станет понимать смысл фундаментальных функциональных  зависимостей в пределах полученных знаний и общего развития сознания.

Логика – вещь сильная. Но логика чревата ошибками. Важно воспитать у ребёнка осторожность в суждениях. Осторожность в суждениях нужна и в быту, и в отношениях между друзьями, между малышом и воспитателем, но в математике осторожность суждения должна стать нормой, если хотите, привычкой.

Обучая логике и счёту нужно понимать, что воспитание наблюдательности - важнейшая форма работы мозга через зрительный нерв. Без наблюдательности нет чувственного восприятия математического содержания. Счёт требует сосредоточения не только всех органов чувств, но также и развития вкуса к сложным действиям. Счёт до пяти не удовлетворит малыша, который понимает, что предметов вокруг него масса, а сколько их дома? На улице? Чтобы сосчитать, уже мало знать числа до сотни. Нужно точно определить, что ты считаешь? Если дома на проспекте – то, расчленив проспект на отдельные перекрёстки, сосчитать дома по этапам – до каждого перекрёстка. Если окна в доме, то расчленить дом по этажам. Таким образом, вырабатывается привычка к точной постановке вопроса и к поиску логической формы для проведения математического действия.
Счёт, оказывается не просто действие той или иной формы: сложение, вычитание, умножение и т.д. Счёт имеет практическое значение; он сводится к приобретению навыков у детей. Развитию представлений о математике как о науке чисел, где числа – воинство в боевых порядках, всегда готовое к выступлению, а знающий счёт – его военачальник.  Ребёнок, обученный счёту, приобретает власть над числами. Эта власть такова, что при определённых обстоятельствах и личной заинтересованности, из него может вырасти и оформиться прекрасный математик. А математику-логику недалеко до вершин математического искусства.
Мария Монтессори связывала обучение счёту и логике со следующими требованиями, исполнение которых считалось обязательным:
  1. Критическое отношение к существующим сенсорным материалам, чтобы творчески обобщая опыт, вырабатывать самостоятельный взгляд и новые методики работы с детьми.
  2.  Личное, постоянное самосовершенствование путём повышения уровня знаний в интересах ребёнка.
  3. Уважение к личности и индивидуальности каждого малыша.
В разновозрастных группах обучение должно быть простым и доходчивым в большей степени, нежели в обычных. Поэтому программы обучения логике и счёту должны корректироваться. Хорошо, если воспитатель опытен и корректировка для него не составляет большого труда. А если это молодой педагог?  Разница в том, что умственное развитие одних опережает или отстаёт от умственного развития других. Одни извлекут из материала большую пользу, другие меньшую. Жертвовать же интересами большинства ради меньшинства – проблематично. Тем более, что меньшинство, при добросовестной постановке дела, научится, и очень скоро, от своих же сверстников. Дети самообучаются быстро. У детей педагогический талант удивительно сильно развит. Им нравится обучать, потому даже полезно иметь нескольких детей младшего возраста в группе для более полного использования педагогических приёмов.
При воспитании логических математических навыков воспитатель должен руководствоваться только материалом, доступным детям с психологической точки зрения.

Что это значит? Это значит, что обучение, допустим, счёту до десяти должно происходить не последовательно: один, два, три… а по системе: один плюс один = два; два плюс один = три и т.д. В таком случае параллельно происходит обучение сложению, а логически умозаключив, малыш сможет и вычесть единицу из числа самостоятельно.

Каверзные вопросы

Известно, что дети задают нередко каверзные вопросы, причём от возраста ребёнка это мало зависит. Достаточно, что он уже обучен логике и счёту до определённых границ. Даже в этом случае сознание малышей оперирует логическими представлениями. Например, когда я объясняла детям угол от прямой линии и привела пример помещения группы, они задали вопрос: «Это действительно так?» И оказалось после замеров, что строители девяносто градусов углов не выдержали. Аксиома, что все прямые углы равны между собой, оказалась под сомнением.  “Нет, Валентина Васильевна, углы совсем не прямые. Как они могут быть равны между собой, когда торчат во все стороны как необрезанные ветки куста?”

Как видите, счёт и основы геометрии они осваивают, но их представления простираются и шире. Ограничивать любознательность детей исключительно счётом, да ещё в пределах программы совершенно неправильно. Необходимо удовлетворять желание детей познавать всё, что они видят, слышат и начинают понимать в полной мере в независимости, арифметические ли это исчисления или первые шаги в области геометрии.

С точки зрения психологической форма обучения начальной математике не должна быть излагательной. Обучение предметам есть искусство. Всё, что носит характер принудительности, всё, что отдаляет ребёнка от педагога – воспитателя, не должно иметь места в группах Монтессори. Считается, что Мария Монтессори совершенствовала не столько детей, сколько материалы, но влияние одних на других несомненно, и потому эта педагогика и эти материалы остаются неизменными вот уже сто лет.

Математика хитра тем, что все её идеи и понятия, все навыки и познания существуют в теснейшей зависимости друг от друга. Достаточно отвлечься на короткое время, упустить из области концентрированного внимания небольшую деталь, какого-либо элемента предмета – значит, лишиться в будущем возможности понять целую цепочку проистекающих одно из другого логических действий, направленных к определённому результату. И даже если результат достигнут с помощью учителя, то он оказывается в дальнейшей практике бесполезным, потому что ребёнок его не понял; не установил в своём сознании взаимосвязь между каждым элементом и проистекающих из этого суммарных выводов, опять-таки стремящихся к результату. Такой ребёнок уже не будет интересоваться математикой, потому что математика – это логика. А логика не терпит разрывов на своём бесконечном пути. Что логично – то взаимосвязано. Разрывы в логике – это провалы в сознании. А белые пятна сознания - это ограниченность в возможностях.

Но не всё так плохо и тут. Мария Монтессори справлялась и с умственно отстающими от успешных сверстников детьми. Провалы сознания можно заполнить. Установить связующие цепочки между возникающей мыслью и теми путями, которыми мысль проходит все этапы чувственного восприятия до руки, совершающей манипуляции с предметом. Поэтому очень важно привлечь внимание детей к счёту как таковому и обязательно приучать к логическому обоснованию каждого арифметического действия в пределах познаваемой программы.

Организуя обучение по Монтессори, я руководствуюсь четырьмя правилами:
  1. Обосновывать и представлять математику детям не как предмет учебный, а как практическую деятельность человека.
  2. Не преподавать идеи, а открывать их заново вместе с ребёнком.
  3. Познание – не осознание сути происходящих явлений, а отношение к ним, заключающееся в связях этих явлений через чувственное восприятие с индивидуальным мироощущением.
  4. Понимание предмета через логику умозаключений и повторение для вырабатывания определённых навыков.
Исходя из предпосылок к учебному процессу, я работаю по нескольким группам познавательного материала:
  1. Даю элементарные представления о числе и цифре, используя сравнительный анализ; помогаю детишкам в освоении состава числа, понятии количества и чётности.
  2. Принимаю участие в процессе построения десятичной системы, с одновременным разбором и практическим показом основных видов исчисления.
  3. Упражняю детей, используя математические таблицы, цветные цепочки; квадратные и кубические числа.
Именно такой подход к учебному материалу ведёт к проявлениям у детей интереса к математическому познанию. В два с половиной – четыре года дети моделируют плоские фигуры по точкам. Они уже знают такие понятия как: “точка”, “отрезок”, “вершина”.

От сенсорики к математике

Материал: Пенопластовая доска. В коробочке выпуклые кнопки, цветные резинки, карты с цветными геометрическими фигурами: прямоугольники, параллелограммы, трапеции, ромб, пяти и шестиугольники. Ребёнок выбирает карточку с геометрической фигурой, подсчитывает, сколько у фигуры вершин, накалывает такое же количество выпуклых кнопок на дощечку. Затем он натягивает на кнопки цветные резинки таким образом, чтобы получились очертания геометрической фигуры, нарисованной на карточке. Вот мы и перешли от сенсорного развития ребёнка к развитию математическому.

Умение писать цифры приходит позднее. В три – четыре года ребёнка можно научить чертить цифры. Он уже умеет заштриховывать, рисовать буквы, теперь он учится искусству начертания цифр. Две продолговатые карты, на которых наклеены длинные кармашки. На каждой карте по пять кармашков. В кармашках наборы цифр из картона или пластика. Каждой цифры по несколько штук. Малыш кладёт перед собой обе карты с кармашками и сортирует набор так, чтобы в верхнем кармашке оказались одинаковые начертания цифр, например, пять штук единиц. Во втором кармашке пять штук двоек и т.д. Таким образом, происходит тренировка по упорядочиванию цифрового материала, его систематизации.

Остановимся на пространственных представлениях. Работая с плоскими и объёмными фигурами, моделируя различные композиции, ребёнок самостоятельно переживает процесс рождения новых миров. Воображение не останавливается в своём развитии. Оно захватывает всё новые и новые пространственные площади, заставляя малышей ассоциативно переносить фантазии в практическую плоскость жизни. Ребёнок строит, планирует, осуществляет архитектурный замысел и проводит его в жизнь.

Например: Накладывает на плоскую дощечку геометрическую фигуру. Ставит на плоскость фигуры куб или пирамиду. Из пластилина делает пол, из спичек колонны и т. д. Процесс смотрится в развитии. Ребёнок добивается относительной гармонии и его произведение кажется ему совершенным. Вообще, работа с объёмным материалом открывает для детей широкие горизонты. А сопоставление плоскостных изображений с объёмными дает новые представления о сложном мире математических понятий.

Строительство бесконечно занимает детей. Возможность экспериментировать, искать и находить увлекает их настолько, что оторвать ребёнка от незаконченного комплекса геометрического сооружения бывает очень трудно.

Теории множеств

Берём коробку с несколькими отделениями. В одном - шнурки разного цвета, в других мелкие геометрические фигурки. На столе скатёрка. Из шнурков можно выложить любые замкнутые фигурки, что ребёнок и делает. В центр каждой замкнутой плоскости малыш кладёт одинаковые фигуры или сначала кладёт фигуры, а потом объединяет их шнурком. Так визуально достигается образное понятие теории множеств.

Ещё более интересное упражнение с единицами веса: граммом, килограммом и т.д.
Небольшие весы, можно игрушечные, но лучше настоящие для домашнего взвешивания. Бумага, карандаши для записей. Калиброванные аптечные гирьки от 1 грамма до пятидесяти. Какие либо предметы для взвешивания, желательно до одного килограмма, не больше. Кисти рук у детей ещё не натренированы на тяжести и легко упустят килограммовую гирьку кому-нибудь на ногу. Разные предметы взвешиваются. Результат записывается. Затем идёт сравнительный анализ. Работа с весами придаёт арифметическим действиям практическую наглядность. Можно гирьку в пятьдесят граммов уравновесить несколькими гирьками, которые в сумме будут иметь те же пятьдесят граммов. Можно организовать в группе и “магазин”, как иллюстрацию к мере весов. Тут же можно затронуть проблему счёта, проверить детей на их способность считать деньги, попутно научить малышей умению делать покупки и благодарить за вежливое обслуживание. Лучше всего упражнения по использованию понятия “длина “, “ширина“, и “высота “ проводить во дворе, но можно и в группе. Тогда инструментом служит линейка, материалом для измерения любая геометрическая фигура или наглядные пособия, или мебель в группе: стол, шкафчик, кровать…

Понятия высоты, длины и ширины совмещаются со знакомством и освоением метрической системы: миллиметр, сантиметр, метр и так далее. Дети с удовольствием замеряют рост своих друзей и подруг. Если есть рулетка, можно замерить ширину двора. Метры сложатся в десятки, сотни метров. А есть ещё километр и десятки километров. Сколько это? Много или мало? Повторение теории множеств через метрическую систему.

Закрепление арифметических действий можно провести через игру – упражнение с пластмассовыми фишками, исполненными наподобие “домино”. На одной половинке арифметическое действие с двумя числами, на другой – число – результат арифметического действия. Дети производят логические комбинации, исполняют арифметические действия и проверяют сами себя посредством парных фишек “домино”.

Таков вкратце мой опыт, моя долголетняя практическая работа по освоению детьми счёта и логики математических исчислений. Проблемы возникают, когда идёт интенсивная работа. Работа рук или мысли или того и другого. Всё что движется целеустремлённо, всё мешает покою обывателя. Но это проблемы бытовые. Гораздо сложнее решать проблемы производственные или научно-экспериментальные или философские или даже психологического свойства. Трудно. Но зато, как и интересно!  

Статья из журнала "Монтессори-клуб" №1 (16) 2009
Фото из архива журнала

Интересно? Расскажите друзьям:

Валентина Трошина

белорусский монтессори-педагог

Наши учебные программы:
Монтессори-педагогика для всех
Монтессори-педагогика для всех
2400 руб.
Монтессори-педагогика для родителей
Монтессори-педагогика для родителей
1200 руб.
Учитель для школы Монтессори
Учитель для школы Монтессори
990 руб.
Монтессори-педагогика для «исключительных детей»
Монтессори-педагогика для «исключительных детей»
1200 руб.
Монтессори-бабушки в строю
Монтессори-бабушки в строю
1200 руб.
Первые шаги. Монтессори-педагогика от 0 до 3-х
Первые шаги. Монтессори-педагогика от 0 до 3-х
1200 руб.
Русский язык по методу Монтессори
Русский язык по методу Монтессори
990 руб.
Пробуждение творчества. Метод М. Монтессори
Пробуждение творчества. Метод М. Монтессори
1200 руб.
«Домашняя школа Монтессори. Диалоги в письмах».
«Домашняя школа Монтессори. Диалоги в письмах».
1200 руб.
Понимание математики. Метод М. Монтессори
Понимание математики. Метод М. Монтессори
990 руб.
Материалы на эту тему:
Елена Хилтунен

Трава в банке – весенний дизайн

Елена Хилтунен

Интеллект детей Монтессори выше, чем у учеников традиционного класса. Почему?

Мария Монтессори

Легато - двигаемся плавно, стаккато - подпрыгиваем, крещендо - чеканим шаг

Паула Лилльярд и Линн Джессен

Роль взрослого – с любовью учить детей соблюдать границы, иначе мир научит их этому без любви

Елизавета Тилли

Что если составить профайл (profile) темперамента ребенка? И не забыть о своем темпераменте!

Подключайтесь к программе «Монтессори-педагогика для всех»
В учебную программу, рассчитанную на год, вошли лучшие статьи, часть из которых больше нигде не публикуется, аудио и видео-файлы, комментарии и задания экспертов.

Узнать подробнее »