Мария Монтессори

Математические материалы как тренажерный зал для умственной гимнастики

Многие современные педагоги — ученые и практики, а также родители детей сомневаются в том, что дидактические пособия по математике, изобретенные 100 лет назад, могут позитивно работать и в наше время. Только опыт может показать нам истину. Представляем исследования, проведенные в детских садах и школах Монтессори современной России, которые доказывают, что дети дошкольного и младшего школьного возраста, если предоставить им реальную возможность свободно и самостоятельно трудиться в области математики и дать в руки дидактические материалы Монтессори, без особых проблем справляются с освоением основ современных математических знаний и умений.

Мария Монтессори

Из книги «Psico-Aritmètica» (Casa Editorìa, Araluce, Barcelona, 1954)
Перевод с итальянского Елены Амаро

Юлия Фаусек
Из книги «Арифметика в элементарной школе Монтессори»
Издание культурно-просветительного кооперативного товарищества
«Начатки знаний» Петроград, 1922 г.

Арифметика в Домах детей и в наших школах исходит из положений детской психологии и является рациональным подходом помощи детям в становлении их математического мышления в соответствии с уровнем их психического развития.

Нумерация и все, что связано с ней, дается в виде провокационных стимулов (дидактических материалов), которые влекут детей к их активной исследовательской деятельности.

Я всегда говорила, что математические науки в целом играют важную роль в воспитании молодых умов, готовящихся, пройдя период обучения, достичь высот абстракции. Однако считалось, что арифметика в начальных классах школы – это лишь средство для развития ума и основ наук. На нее смотрели как на рок, который трудно преодолеть, плод болезненных усилий. Но для совершенствования человека как вида такой путь бесплоден.

Математические материалы отталкиваются от научной точки зрения, и ребенок, работая с ними, как бы расчищает для себя фундамент, на котором потом будет созидать здание математических наук, и косвенно облегчает себе изучение самой математики, развивает логическое мышление.

Арифметические материалы можно сравнить с тренажерным залом для умственной гимнастики. Они созданы в результате тщательного анализа математических доказательств и с помощью многочисленных наблюдений активно упражняющихся детей. Каждая их деталь ведет к развитию психического мышления людей различного уровня зрелости. Это великолепный пример исследований экспериментальной психологии, проделанных в течение двадцати пяти лет. Прогресс в развитии мышления детей, работающих с нашими математическими материалами, вызван не требованиями взрослых, а естественной потребностью детского ума к постоянному движению вперед. Этот прогресс достигается в результате свободного выбора учениками наших школ любых дидактических материалов для работы – не только математических. Успехи детей даже для нас были удивительны. В процессе опытов с материалом я видела даже взрослых и образованных людей, которые неизменно увлекались работой с ними.

«Психоарифметика» включает и математические материалы, созданные в результате моих экспериментов и в сотрудничестве с Марио Монтессори. Например, простые действия по извлечению корней и квадраты чисел стали доступны восьми-девятилетним детям. Это именно его заслуга. Или разработка «материализации» бинома и тринома Ньютона, алгебраические формулы которых дети составляют путем комбинирования определенных цветных геометрических форм. С помощью этих математических абстракций становятся понятными формулы, изучаемые в курсах уже средней школы. Здесь дается только общий обзор этих материалов, так как им должна быть посвящена отдельная книга.

В «Психоарифметике» и в «Психогеометрии» я предприняла описание явлений, прежде всего, психического характера, так как воспринимала детей как исследователей, которые без всякого смущения и, можно сказать, игнорируя взрослых, а лишь работая с дидактическим материалом, приходили к открытию алгебраических формул и пониманию разно-образных отношений чисел. Отсюда следует, что в настоящее время мы находимся на пути не только обучения, но и самообучения детей.

Мария Монтессори

ВARCELONA, декабрь 1934

Те, кто знаком с системой Монтессори хотя бы только по книге «Дом ребенка. Метод научной педагогики», знает ее дидактический материал для обучения или, лучше сказать, самообучения детей в дошкольном возрасте. Материал прост, ясен и привлекателен, и те, кто работал в детском саду Монтессори, хорошо знают тот интерес, который возбуждается у детей при соприкосновении с ним; интерес, который толкает их на бесчисленные повторные упражнения.

Даже самые ярые противники системы Монтессори принимают некоторые предметы материала, хотя несколько и переиначивая их, как бы боясь даже незначительного прямого вторжения вражеского элемента.

Начальная школа Монтессори, предназначенная для детей от 6,5 до 10-11 лет включительно, является непосредственным продолжением детского сада по этой системе. Основы школы те же, что и в детском саду. Дидактический материал по разным предметам разработан при помощи специалистов и дает возможность детям свободного с ним обращения и самообучения.

Материал этот настолько богат (по содержанию) и вместе с тем прост и ясен, как и все гениальное на свете. Работа с ним детей дает такие прекрасные результаты в школах Монтессори, что у нас, поборников этой системы, появляется горячее желание познакомить с ним учительниц и учителей, и еще большее желание осуществить работу с ним на практике. Школьный арифметический материал Монтессори является непосредственным продолжением предназначенного для той же цели материала детского сада. Некоторые его части аналогичны предметам, которые вводят в царство чисел самых маленьких детей и служат средством расширения и углубления арифметических понятий, приобретенных в детском саду. Например, десять палочек с нанизанными на них бусами аналогичны десяти штангам длинной лестницы. Башня из кубов разноцветных бус, каждый из которых представляет собой куб числа, выраженного количеством бусин в ребре куба, аналогична простой башне из розовых деревянных кубов, хорошо знакомой самым маленьким детям. Счеты из бус в школе аналогичны счетным ящикам детского сада, при помощи которых дети сами доходят до всех четырех арифметических действий до 9.

Некоторые предметы этого материала могут быть переносимы из детского сада в школу. Например, длинная лестница или таблица для перехода через десяток. В то же время некоторые предметы из школы могут спускаться в детский сад. Например, десять палочек нанизанных бус, цепь ста и первые счеты из бус с четырьмя проволоками. Первое было уже и в нашем опыте, о втором пишет Монтессори, и мы надеемся осуществить его в недалеком будущем.

Юлия Фаусек

«Арифметика в элементарной школе Монтессори», Петроград, 1922

Существует ли сенситивный период освоения математики? Если и существует, то это еще надо доказать! По каким признакам можно назвать его нижнюю границу, что определяет «пологое начало», каковы наивысшие точки и когда этот период заканчивается? В работах М.Монтессори нет ответов на эти вопросы. Тем не менее, она называла ум маленьких детей математическим. Что она имела в виду?

Математика входит в жизнь человека с первыми попытками сравнивать и распределять сенсорные впечатления. Она возникает в сознании ребенка с появлением абстрактного мышления, стимулами к развитию которого косвенно служат почти все классические сенсорные материалы Монтессори. Но рубеж, когда математическое мышление приобретает свое прямое назначение – выполнять арифметические и другие счисления – наступает лишь после 4,5 лет. Раньше этого срока математика живет в ребенке лишь в своем косвенном, сенсорном воплощении.

Поэтому упражнения детей с сенсорными материалами заканчиваются работой с теми из них, которые в прямых целях (то есть в целях ребенка) приобретают обратный – не сенсорный, а математический смысл, но все еще продолжают служить утончению чувств. Например,

для ребенка становится важным выучить название геометрических форм, геометрических тел, конструирование треугольников и многоугольников, соединение в один куб бином, ориентируясь по цветам входящих в него кубов и призм. Как только косвенные цели ребенка приобретают прямой смысл, мы можем констатировать переход на новую ступеньку – стремление мыслить математическими абстракциями, осваивать числа и количества, производить различные арифметические действия. И тогда нас начинает интересовать дальнейшая логика развития детского математического мышления, смена выборов материала, концентрация внимания на изучении определенного математического понятия, интенсивность интереса и многое другое.

Из дневников наблюдений современных педагогов-исследователей можно видеть, что у каждого ребенка складывается свой способ работы с математическим материалом: свой темп, своя периодичность, своя последовательность выбора. Кто-то из детей постоянно обращается к материалу, а кто-то периодически, но с высокой интенсивностью. Кто-то материал выбирает последовательно, а кто-то перескакивает, пренебрегая нашей взрослой логике его предложений детям. Кто-то движется, выбирая с каждым разом более сложный материал (опять же с нашей взрослой точки зрения), а кто-то часто возвращается для повторения изученного. И видно на занятиях, что, выбирая материал самостоятельно, дети занимаются с ним, проявляя большую сосредоточенность и концентрацию внимания, работают с высокой степенью мотивации. При использовании традиционных методик преподавания математики этого бывает нелегко достичь.

Конечно, внимательная наставница или учитель может предположить, что именно ребенку в данный момент презентовать, чтобы у него были возможности освоения материалов в зоне ближайшего развития, но выбор конкретного материала в конкретный момент времени лучше всего совершает сам ребенок. Уникальная личность – уникальный путь развития.

Для того, чтобы процесс познания был упорядочен, мы создаем предметно-развивающую Монтессори-среду с ее материалами, расположенными на определенных местах в определенном порядке. А для того, чтобы привнести живость в процесс познания мира, предлагаем ребенку осуществлять самостоятельный выбор занятий, определяя тем самым его собственный уникальный путь развития. Таким образом, сохраняется и развивается способность выбирать, а задача наставницы или учителя – не обучать и воспитывать, а помочь сделать этот выбор детей более осознанным.

Таким образом, подтверждается наша гипотеза о том, что самостоятельный выбор детьми старшего дошкольного и младшего школьного возраста образовательной деятельности соответствует их естественной потребности в обучении и формирует их мотивацию к обучению. Этот выбор в большинстве случаев не совпадает с логикой составителей существующих программ развития математического мышления у детей дошкольного возраста, которые предлагаются к использованию в детских садах и начальных школах.
Наше понимание личностно ориентированного образования требует создания новых условий для свободного и естественного развития детей, которые соответствовали бы естественному развитию каждого ребенка. Наиболее эффективной в этом отношении является специально подготовленная среда, созданная в контексте Монтессори-педагогики.

Из отчета о проведенном исследовании педагогов

Санкт-Петербургской монтессори-школы Михайловой, 2009 год

Статья из журнала «Монтессори-клуб» № 1 (31) 2012 г.

Фото из книги «Montessori skuole» Bergamo, 1951 Архив Грации Хонеггер Фрешко

Материалы урока

Арифметика в России 150 лет назад

"Чтобы стремиться вперед, надо, чтобы манил нас идеал. Надо, чтобы мы не считали достигнутое совершенством и знали, куда нам идти, к чему стремиться. Плохой тот солдат, который не метит в фельдмаршалы. Дружно, братья, вперед — не ударим же лицом в грязь пред школой Ильиных. Дружно вперед, но помаленьку, настойчиво и не спеша, по одежке протягивая ножку". Барон Корф, 1871 год.

Читать далее

Арифметика начинается со счета денег

Интересно получается: по нынешним нашим образовательным стандартам дети 6 -7(8)-летнего возраста могут и в детский сад ходить, и в начальную школу. Пока не очень понятно, как отнесутся к такому странному положению дел родители, но вот как для таких детей должны быть устроены специально подготовленные среды – это профессиональный вопрос к педагогам.

Читать далее

Книжная полка современного монтессори-педагога: